Математика в строительстве египетских пирамид

   Египетские пирамиды. Они уже в древности считались одним из семи «чудес света». Само их существование, тайна возникновения и предназначения в течение тысячелетий будоражили воображение лучших человеческих умов. Вызывает любопытство и восхищение и становится интеллектуальным вызовом человечеству, демонстрацией его бессилия в раскрытии этих тайн. Пирамиды до сего времени — тайны втройне. Раскрытию этих тайн многие ученые посвятили всю свою жизнь. Однако на протяжении тысячелетий, начиная с Геродота, посетившего Египет еще до рубежа новой эры, и до сего времени, эти тайны не поддаются расшифровке.
   Главные вопросы, всегда волновавшие исследователей пирамид Египта, можно свести к четырем позициям: кто, когда, как, и ,главное, зачем построил эти величественные сооружения? Но мы не будем сейчас рассматривать эти вопросы, а коснемся только математических знаний, воплощенных в архитектуре пирамид. При этом сами пирамиды очень разные. Наибольшей точностью геометрических пропорций отличаются только пирамиды в Гизе — это пирамиды Хеопса (Хуфу), Хефрена (Хафра) и Микерина (Менкаура), построенные во времена IV династии в 26 веке до н.э. Более ранние и, как ни странно, более поздние сооружения не отличались ни точностью, ни качеством постройки.
    Дошедшие до нас древнейшие египетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н.э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений.   Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции.  Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов. Это косвенно подтверждается и тем, что греческие математики учились у египтян.
   Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, он же Ринда (84 математические задачи), и московский папирус Голенищева (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Все задачи папируса Ахмеса (записан около 1650 года до н.э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежевания земельных наделов и т. п.  Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. В основном это задачи на нахождение площадей треугольника, четырехугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и единичными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение различных уравнений с неизвестными. При этом задачник не приводил никаких объяснений и доказательств. Искомый результат либо дается прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран Древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путем обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Но делать такие однозначные выводы о состоянии математики в Древнем Египте на основании всего двух сохранившихся папирусов, вероятно, не следует. Ведь папирусы могли представлять из себя самый обычный задачник, вроде тех, которыми пользуемся и мы.
     Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры : при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.
   В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, трапеции, треугольника, круга. Вероятно были знакомы и с пространственной геометрией — стереометрией, так как знали точные формулы для объема параллелепипеда, различных цилиндрических тел и пирамид, а также усеченных пирамиды и конуса, и даже объем полусферы. Подробное изучение пирамид дает основание утверждать, что египтянам были известны и такие величины, как число «пи» и «золотое сечение», а также задолго до Пифагора — прямоугольные треугольники.
   Теперь рассмотрим более подробно некоторые познания в математике на примере архитектуры пирамид.
   Любое строительство начинается с разметки участка. Уже само слово «геометрия» по-гречески означает «землемерие». Ученые считают, что эта наука зародилась еще у самых древних египетских земледельцев. После каждого разлива Нила им приходилось заново разбивать поля на участки, находить их границы. А для этого надо было уметь измерять площади различных фигур: ведь поле может иметь какую угодно форму. Главной мерой длины у египтян служил локоть, равный 52,3 сантиметрам. Локоть делился на 7 «ладоней», а «ладонь» - на четыре «пальца».
     С измерением площади прямоугольников было все просто, но как выйти из ситуации, когда необходимо измерить неправильную фигуру? Для этого у египтян было два способа. Первый сейчас уже нигде не применяется, но метод очень любопытный и использовался, вероятнее всего, именно в земледельческой практике. Хотя и приближенно, но с достаточной точностью, а, главное, без излишних затрат времени, площадь произвольного многоугольника вычисляли по следующей формуле:
     S = (a+c)/2 x (b+d)/2, где a,b,c,d - стороны прямоугольника.
    Второй способ, более точный, но и более трудоемкий, состоял в разделении любого многоугольника на треугольники и нахождения их площадей с последующим сложением. Они рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике провести прямую линию через две противоположные вершины, то получится два одинаковых треугольника с прямыми углами. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились. Значит, для того, чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить длины их и от того, что получится, взять половину.
   Прямоугольный треугольник лежал и в основе решения задачи вычисления площади произвольных треугольников. Египтяне провели линию под прямым углом к одной из сторон треугольника так, чтобы она проходила через вершину противоположного этой стороне угла и тем самым разделяли любой треугольник на два прямоугольных. Далее путем несложных математических вычислений вывели правило, что площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.
   Здесь мы подходим еще к одному открытию в математике, которое скорее всего было известно египтянам. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5. Если сложить квадраты двух меньших сторон, то сумма будет равна квадрату большей стороны, лежащей напротив прямого угла, образуемого меньшими сторонами. Этот классический прямоугольный треугольник и по сей день называют — египетским. А соотношение квадратов сторон прямоугольного треугольника мы все сейчас знаем, как теорему Пифагора. Кстати, Пифагор, как и многие античные ученые, посещал Египет, считавшийся в эллинскую эпоху центром науки и образования. Вероятнее всего Пифагор обобщил и сформулировал те знания, которые были известны египтянам уже за 2 тысячелетия до самого Пифагора и широко применялись ими на практике.
    Известен один любопытный инструмент, которым пользовались египтяне для определения прямого угла. Изображение этого встречается на древнеегипетских рисунках. Давайте возьмем веревку и отмерим на ней сначала пять одинаковых отрезков, потом четыре, потом три. На концах этих участков завяжем узелки с колечками, а свободные концы веревки аккуратно свяжем. Теперь вставим в колечки острые колышки и воткнем их в землю так, чтобы вся веревка натянулась. У нас получится треугольник с прямым углом, который лежит как раз против большей стороны. Землемеры, которые пользовались этим инструментом, назывались ГАРПЕДОНАПТЫ, или «натягиватели веревок». Но сам инструмент имел более широкое применение. Известны древнеегипетские рисунки, где изображено использование веревочного угольника в столярной мастерской. Любопытен и факт, что инструмент этот использовался позже строителями на протяжении многих тысячелетий и в античные времена, и даже в средние века.
     Примерно ту же ситуацию мы наблюдаем с числом «пи». Мы знаем, что это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. И если принять диаметр за единицу, то длина окружности — это и есть число «пи» и равняется 3,1415926... Официально считается, что первым, кто предложил математический способ вычисления, был Архимед. Но как утверждают современные ученые, впервые число «пи» стало применяться в Египте около 1700 года до н. э. Упоминание об этой закономерности можно найти даже в папирусе Ахмеса, а это более тысячи лет до Архимеда, что говорит о том, что египетские математики не только знали, но и активно пользовались этим числом в инженерных расчетах. Но пирамиды предположительно были построены за тысячу лет до этих времен. Возможно, египтяне знали об этой величине задолго до указанной даты и все дело в том, что папирус Ахмеса — это один из немногих дошедших до нашего времени древних документов.
   Стоит представить себе изумление ученых 19 века, которые впервые обнаружили, что пропорции пирамиды Хеопса тесно связаны с числом «пи». В частности, если разделить длину периметра основания этой пирамиды на ее удвоенную высоту, появляются знакомые каждому школьнику цифры. Проведенные советским исследователем Н. А. Васютинским исследования пропорций пирамиды Хеопса выявили некоторые погрешности между известным числом «пи» и соотношением высоты и размера основания этого древнего сооружения. Погрешность составила всего 15 десятитысячных долей процента.   Продолжив свои исследования, Васютинский выяснил, что увеличение высоты пирамиды всего на один египетский «локоть» или уменьшение ее на ту же величину привело бы к появлению величины 3.135 и 3.154 соответственно, т.е. говорить о точности числа «пи» уже не приходилось бы. Но этого не произошло, т.е. древнеегипетские проектировщики использовали в своих расчетах именно число «Пи», а теми, кем была построена усыпальница Хеопса, были с поразительной точностью выдержаны запланированные пропорции. Каким образом им удалось это сделать, похоже, так и останется неразгаданной загадкой!
    А если представить себе, что пирамида опирается на свое зеркальное отображение, мы и получаем удвоенную высоту, а сама пирамида будет идеальной конструкцией с точки зрения распределения весовых нагрузок. При том, что подобные пропорции строго соблюдены во всех трех великих пирамидах. Любой современных архитектор знает, что пирамида, построенная в таких пропорциях, наиболее устойчива, что и подтверждают египетские пирамиды, простоявшие многие тысячелетия и пережившие множество землетрясений.
   Что касается принципа золотого сечения, то о нем мир официально узнал, спустя два тысячелетия после предполагаемого строительства пирамид. Не будем останавливаться подробно на математических формулах этого правила, отметим только утверждение многих ученых, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Принцип золотого сечения является определяющим в современной строительной науке, вот почему удивительным является тот факт, что он был известен древним египтянам. Свидетельством этому могут служить Великие пирамиды, расположенные в Гизе, которые с древнейших времен шокировали очевидцев своим великолепием и удивительно точными пропорциями и формами.
   Следуя дорогами тысячелетий, учёные пытаются хоть немного приблизить разгадку секретов древности, шаг за шагом нащупывая истину. Одной из важнейших областей их деятельности являются тайны египетских пирамид. Несмотря на долгую историю раскопок и исследований,  не смотря на развитие науки и техники современного мира, человечество ещё не в состоянии ответить на огромное количество загадок, которые скрыты в египетских пирамидах.

Нравится

Тридцатая школа