В этой статье мы не будем задаваться целью изложить развитие математики в Древней Греции со всей серьезностью научного трактата, а попробуем рассказать доступным языком, чтобы наше повествование было занимательным и понятным школьникам разного возраста. Итак, как же математика стала настоящей наукой?..
— А разве у египтян и вавилонян математика не была наукой? — спросите вы. — Ведь они знали о математике уже немало и к тому же очень умело пользовались своими знаниями.
В том-то и дело, что знания были, а настоящей науки ещё не было. Потому что математика, как и всякая другая наука, прежде всего должна отвечать на вопрос «почему». Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту? Почему два любых числа всегда можно точно сложить друг с другом, а вот разделить друг на друга без остатка можно не всякие числа?
Египтяне знали, что у треугольника со сторонами в 3, 4 и 5 локтей один угол прямой. Но почему так получается, они не объясняли. Такой вопрос, может быть, и не приходил им в голову. Как и многие другие народы, египтяне просто пользовались готовыми правилами, которые «ощупью» находили на опыте и запоминали. В решениях их задач часто встречается совет: «Делай как делается».
Настоящей наукой математика стала только у древних греков. Это был удивительно талантливый народ, у которого учатся многому даже сейчас, тысячи лет спустя.
Греческие племена стали селиться на северных и восточных берегах Средиземного моря более трёх тысяч лет назад. Большая часть греков осела на Балканском полуострове — там, где и сейчас государство Греция. Остальные расселились по большим и маленьким островам Средиземного моря и поберегу Малой Азии.
Как и финикийцы, греки были отличными моряками. Их лёгкие остроносые корабли во всех направлениях бороздили Средиземное море. Они везли посуду и украшения из Вавилона, бронзовое оружие из Египта, шкуры зверей и хлеб с берегов Чёрного моря. И конечно,как и у других народов, вместе с товарами корабли привозили в Грецию знания. Но греки не просто учились у других народов. Очень скоро они обогнали своих учителей.
Греческие мастера строили удивительной красоты дворцы и храмы, которые потом тысячи лет служили образцом для архитекторов всех стран. Греческие скульпторы создавали из мрамора чудесные статуи. А с греческих учёных началась не только «настоящая» математика, но и многие другие науки, которые изучаются в школе.
А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому что они хорошо умели... спорить.
Чем же споры могут помочь науке? В древние времена Греция состояла из многих маленьких государств. Чуть не каждый город с окрестными деревнями был отдельным государством. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площадь, обсуждали его, спорили о том, как сделать лучше, а потом голосовали. Понятно, что они были хорошими спорщиками: на таких собраниях приходилось опровергать противников, рассуждать, доказывать свою правоту. Греки считали, что спор помогает найти самое лучшее, самое правильное решение. Они даже изречение придумали: «В споре рождается истина».
И в науке греки стали поступать так же, как на народном собрании. Они не просто заучивали правила, а доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе.
Каждое правило греческие математики старались объяснить, доказать, что оно действительно верное. Для этого они спорили друг с другом, рассуждали, старались найти в рассуждениях ошибки. Докажут одно правило — рассуждения ведут к другому, более сложному, потом — к третьему, к четвёртому. Из правил складывались законы, а из законов — наука математика.
Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперёд. Ей в этом помогали «рассуждение» и «доказательство» - то, чего раньше у других народов не было.
Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — его еще называют египетским треугольником. Если Вы заметили, 3, 4 и 5 —не случайные числа. Смотрите-ка: 3 х 3 = 9; 4 х 4 = 16; 5 х 5 = 25. А если теперь сложить два первых результата? Ведь тоже получается 25. Оказывается, стороны египетского треугольника обладают каким-то особым свойством. Это видно на рисунке . К каждой стороне треугольника мы пририсовали по квадрату. В маленьком квадрате 9 клеток, в среднем — 16, а в большом, который лежит против прямого угла, — 25 клеток. Выходит, что в двух меньших квадратах столько же клеток, сколько в большем. Египтяне на это, возможно, не обращали внимания.
Греки же не только заметили это свойство «египетского» треугольника, но и сделали интереснейшее открытие. Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике стороны обладают тем же свойством, что в «египетском». Это знаменитая теорема Пифагора, которая теперь есть в каждом школьном учебнике геометрии. Теорема Пифагора — уже не правило, а закон, потому что она верна не для одного или нескольких, а для всех прямоугольных треугольников.
Греческие учёные не случайно так много занимались математикой. «Математика есть ключ ко всем наукам», — говорил один из них. И он, конечно, был прав. Ведь всё, что можно измерить, выразить числами, становится материалом для применения математики. Наверное, поэтому другой знаменитый учёный — Платон — над дверью дома, в котором он занимался со своими учениками, велел сделать такую надпись: «Не обучавшийся геометрии пусть не входит в эту дверь».
В надписи Платона не случайно говорится не о математике вообще, а о геометрии, которую греки считали особенно важной наукой.
Примерно 2200 лет назад жил знаменитый греческий геометр Евклид, имя которого сейчас знает весь мир. Евклид написал книгу «Начала», которую мы с вами назвали бы учебником геометрии. В неё вошла и вся геометрия того времени. Каждое свойство фигур Евклид доказывал и делал это так замечательно, что наш нынешний школьный учебник геометрии больше чем половину берёт прямо от Евклида.
Представляете себе, каким гениальным человеком был этот учёный, если его книга приносит людям большую пользу даже сейчас, более 2000 лет спустя! Для построения фигур Евклид пользовался только линейкой и циркулем — других инструментов он не признавал. Самым важным «инструментом» у Евклида были рассуждения, правильные и точные рассуждения, которыми он доказывал всё то, что писал.
Много греки занимались и наукой о числах, которая у них называлась, как и у нас, арифметикой.
В школьном учебнике математики мы находим правило греческого учёного Эратосфена, которое служит людям две с лишним тысячи лет.
Люди давно заметили, что числа бывают двух разных видов. Например, число 12 можно без остатка разделить на 2, 3, 4 и 6. А следующее за ним число 13 делится без остатка только само на себя: 13 : 13 = 1. Кроме того, каждое число делится на 1. Такие числа, как 12 или 15, которые можно разделить на какое-нибудь другое, меньшее число, не равное 1, называются составными. Те, которые делятся только сами на себя и на 1, например 2, 7, 11, 13, называются простыми.
В математике часто бывает важно определить, простое или составное получившееся в задаче число. Если такое число маленькое, как в наших примерах, для этого достаточно таблицы умножения. А вот когда число большое — приходится пользоваться правилом Эратосфена. В учебниках математики оно называется «решетом Эратосфена». Другого способа математики так и не придумали.
Греческие учёные много занимались задачей: найти длину ребра куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба («удвоение куба»). Задача эта украшена многими преданиями. Греки стремились решить её при помощи только циркуля и линейки. Ныне доказано, что это невозможно. Эратосфен для решения этой знаменитой задачи применил придуманный им прибор, который назывался мезолябия и служил для извлечения кубических корней. Вот как ему удалось это сделать.
Между рейками АВ и СД расположены три равных прямоугольных треугольника 1, 2, 3 (см. рисунок) . Первый закреплён, 2 и 3 могут передвигаться вдоль реек. Если К — середина отрезка ДВ и треугольники 2 и 3 передвинуты так, что точки пересечения сторон треугольника L и N находятся на прямой АН, то куб с ребром ML имеет объём вдвое больший, чем куб с ребром ДК.
Греки открыли и много других важных свойств чисел и правил вычисления. И всё, что они делали, они не только объясняли, показывали, но и обязательно доказывали.
Кроме арифметики и геометрии в греческую математику входила...музыка. Музыкой греки называли ту часть нашей математики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Почему такое странное название?
Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже, «толще» получается звук, который она издаёт. Они знали, что короткая струна издаёт высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длины звучащих частей их должны быть в определённом отношении. Поэтому учение об отношениях, о дробях и стало называться музыкой.
До сих пор мы с вами говорили о греческих учёных, которые изучали свойства чисел, свойства фигур, открывали законы математики.Таких учёных сейчас называют теоретиками. Но математика всегда решала те задачи, какие ставила перед ней жизнь, практика. Поэтому греческие учёные решили и множество практических задач, которые до них люди решать не умели.
Например, греки первыми научились издали определять расстояние до корабля в море или другого недоступного предмета. Для этого они использовали свойства прямоугольного треугольника с двумя одинаковыми сторонами — равнобедренного треугольника. У такого треугольника каждый из двух одинаковых углов равен 45 градусам - половине прямого угла. Выходит, что если мысленно построить такой прямоугольный треугольник, то расстояние по берегу от вершины прямого угла, где вбит шест, до человека с угольником как раз равно расстоянию от шеста до корабля (см. рисунок) . Оставалось лишь измерить расстояние до шеста по берегу, что, конечно, легче, чем по воде! Этот принцип до сих пор лежит в основе определения расстояний с помощью оптических приборов.
Греческий математик Фалес первым определил высоту египетской пирамиды по длине её тени. Как это делалось, понятно из рисунка . Высота пирамиды во столько раз меньше длины тени, во сколько тень от палки длиннее палки.
Очень интересную задачу решил математик Эратосфен, тот самый, который придумал «решето». Он впервые определил размеры земного шара.
Эратосфен был греком, но жил около 2000 лет назад не в Греции, а в Египте, в городе Александрии. Южнее Александрии на берегу Нила лежит город Асуан. Эратосфен узнал, что в день летнего солнцестояния — самый длинный день года — в Асуане солнце заглядывает на дно самых глубоких колодцев. А в Александрии в этот день дно колодцев остаётся в тени. Там солнечные лучи падают на землю не отвесно, как в Асуане, а под углом, и освещают только стенку колодца.
Эратосфен измерил угол между направлением солнечного луча и стенкой колодца. Оказалось, что этот угол равен 1/50 части полной окружности. Вероятно, Эратосфен рассуждал примерно так: «Солнечные лучи всюду параллельны, а колодцы всегда копают по отвесу. Солнце может по-разному освещать колодцы в Асуане и Александрии только потому, что Земля не плоская. Скорее всего она круглая как шар. Но раз угол между солнечным лучом и отвесом в Александрии равен 1/50 части полной окружности, то расстояние между Александрией и Асуаном также равно 1/50 части окружности, которая опоясывает земной шар».
Расстояние от Александрии до Асуана Эратосфен приблизительно знал. Умножив это расстояние на 50, он определил длину окружности (меридиана), «надетой» на Землю. Если величину разделить на 3,14, то и получится диаметр земного шара.
Много практических задач по математике и физике решил греческий учёный и изобретатель Архимед, имя которого упоминается в каждом учебнике физики. Он нашёл, что при взвешивании тела, погружённого в жидкость (например, в воду), весы показывают на столько меньше веса тела в воздухе, сколько весит вытесненная телом жидкость, — это один из самых важных законов физики. По этому закону плавают по воде тяжёлые железные суда, летают воздушные шары. По преданию, Архимед додумался до своего закона, когда ему поручили решить, не подмешал ли мастер в царскую корону из сплава золота с серебром слишком много серебра.
Подозревали, что мастер утаил часть золота. Архимед знал, что золото гораздо тяжелее серебра, и, взвесив корону сначала в воздухе, а потом в воде, он сумел ответить на этот вопрос.
За свою жизнь Архимед сделал так много, что рассказывать об этом подробно надо в отдельной книге.
Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашёл правила вычисления площадей и объёмов различных тел, с большой точностью определил отношение длины окружности к длине её поперечника.
Среди других задач была и такая: найти отношение объёма шара, вставленного (математики говорят: «вписанного») в цилиндр, к объёму этого цилиндра. Архимед определил, что объём вписанного шара равен 2/3 объёма цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне вырезали чертёж этой задачи: шар в цилиндре. Потом, двести лет спустя, по этому рисунку нашли могилу Архимеда.
В арифметике Архимед особенно интересовался очень большими числами. Одна из его книг так и называется: «Исчисление песчинок».
Но больше всего Архимед славился среди греков своими изобретениями. Некоторые его изобретения живут и по сей день. Например, каждая хозяйка, сама того не зная, часто пользуется «винтом Архимеда». Главную часть мясорубки — винт, который вертится внутри трубки и толкает мясо к ножам, — изобрёл Архимед две с лишним тысячи лет назад. Он придумал его, конечно, не для мясорубки, а для насосов, которыми качали воду на поля.
Когда Архимеду было около семидесяти лет, в 212 году до нашей эры, его родной город Сиракузы осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед. Под руководством
Архимеда горожане построили много военных машин для метания тяжёлых камней и брёвен. Машины помогали им почти год отбиваться от многотысячных римских войск, но в конце концов римляне всё-таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был и Архимед. Предание говорит, что, когда римский солдат уже замахнулся на старого Архимеда мечом, он крикнул: «Не трогай мои чертежи!»
Несмотря на то, что греческие учёные были замечательными мастерами «рассуждений и доказательств», они все же встречали трудности в решении некоторых задач. Одной из таких задач, в которой как будто правильное рассуждение приводит к явно нелепому результату, является знаменитая задача про Ахиллеса и черепаху.
Герой греческих сказаний Ахиллес был самым быстрым на свете бегуном. А условия задачи были такие: Ахиллес и черепаха стоят на одной и той же дороге, черепаха на одну меру пути впереди Ахиллеса. Они одновременно пускаются в путь в одном и том же направлении. Пусть Ахиллес двигается в 10 раз быстрее черепахи. Догонит ли Ахиллес черепаху и когда?
Рассуждали так. Когда Ахиллес добежит до того места, где стояла черепаха, скажем, километр, черепаха уползёт вперёд на 100 метров.Ахиллес пробежит оставшиеся 100 метров, но черепаха опять уползёт на 10 метров. Ахиллес пробежит 10 метров, а черепаха опять уползёт наметр, и так — до бесконечности. Выходит, что Ахиллес как будто никогда не только не перегонит злополучную черепаху, но даже не сможет её догнать.
Кроме замечательных математических рукописей греки оставили нам в наследство еще одно важное и знаменитое математическое изобретение. Это изобретение — счётный столбик, абак. Наши счёты, которыми иной раз ещё пользуются, — очень близкий родственник греческого абака.
Мы знаем, что греки записывали числа буквами (см. рисунок) . Это был не очень удобный способ. Мы при сложении, например, пишем слагаемые одно под другим и складываем столбиком. Изобретение такого способа сложения было важным шагом вперёд в развитии арифметики. Забавно, но по некоторым современным школьным программам обучения в младших классах не учат решать примеры столбиком...
При обозначении же чисел буквами сложение столбиком невозможно. Чтобы облегчить себе сложение и вычитание больших чисел, люди (возможно, ещё вавилоняне) придумали счётный столбик — абак. Доска абака разделена на вертикальные полоски. Каждая полоска назначена для откладывания отдельных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску — сколько в числе десятков, в третью — сколько в числе сотен, и так далее. Полоски соединены дужками по три в классы: единицы, тысячи, миллионы. Наши счёты в общем-то тоже абак, в котором место полосок занимают проволоки с бусинами для единиц, десятков, сотен и так далее.
В некоторых книгах пишут, что наши счёты китайского происхождения и были привезены в Россию при Петре I в начале XVIII века. Это мнение ошибочное. Китайцы, правда, также изобрели счёты, но они отличаются от наших. В них на каждой проволоке не по десять шариков, как у нас, а по семь.Последние два шарика отделены от первых, и каждый из них обозначает «пять». Когда при расчётах набирается пять шариков, вместо них откладывают один шарик второго отделения счётов.
Китайские счёты изобретены в то отдалённое время, когда пользовались не десятичной системой счисления, а пятеричной, что, возможно, говорит об их более древнем происхождении. Пятеричное счисление сохранялось до недавнего времени у некоторых народов, например, у чукчей. Десятичная система счисления — это дальнейшая, более поздняя ступень развития арифметики. Но в общем-то, и китайские счеты, и абак, основаны на едином принципе — вычислениям в столбик.
На этом мы закончим занимательный рассказ о греческой математике, а в дальнейших статьях расскажем о развитии математики и у других народов и цивилизаций в разные временные эпохи.
| Твитнуть | Нравится |
